Всероссийский интерактивный образовательный портал "Аксиома"

 

выполнила:

учитель математики

Карпова Елена Феликсовна

МБОУ г. Иркутск СОШ №7

Иркутская область, Иркутск

Тема: Синус, косинус, тангенс острого угла

прямоугольного треугольника

(8 класс, геометрия)

Цели урока:

Обучающая:

Формирование  у обучающихся понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника посредством организации обучающей деятельности по усвоению определений;

Развивающая:

• Развитие умения самообучения посредством соотнесения этапов решения эталонам;
• развитие у обучающихся умений сравнения, установления причинно-следственных связей посредством требования обязательности обоснования своих действий;
• развитие грамотности математической речи посредством организации этапа громкой речи;
• развитие умений планирования через составление плана решения задачи и алгоритмизацию отдельных этапов решения задач;

Воспитывающая:

• формирование у школьников познавательного интереса к предмету посредством использования на уроке интересных исторических фактов, создания ситуаций затруднения, выстраивания серии заданий по принципу доступности, последовательности изучения материала от простого к сложному;
• навыков самоорганизации, самостоятельности через организацию самостоятельной деятельности;
• коммуникативных навыков через организацию взаимной проверки заданий в парах;
• навыков самоконтроля посредством организации проверки и самопроверки выполненных заданий.

Оборудование урока:

Интерактивная доска  или проектор, раздаточный материал (карточки-опоры), справочные таблицы.

 

Перейти к конкурсам для музыкальных руководителей

 

Ход урока

Организационный момент

I этап – подготовительный

Цель этапа: актуализация опорных знаний, необходимых для усвоения темы.

Учебные действия, необходимые на данном этапе:

• умения распознавать понятия – прямоугольный треугольник, гипотенуза, катеты; противолежащую пару «острый угол-катет», прилежащую пару «острый угол-катет»;
• умения находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника с использованием теоремы Пифагора;
• умение составлять и вычислять отношения.

Метод – объяснительно-иллюстративный

Вид обратной связи – интуитивно-визуальная

Форма работы - фронтальная

Вид познавательной деятельности – репродуктивный

Задачи на повторение могут быть заданы на экране, вопросы задаваться последовательно фронтально всему классу с последующим обсуждением правильности ответов.

Деятельность учителя – озвучивает задание

Действия учащихся – отвечают на вопросы

Учитель: Ответьте на вопросы (работа по готовым чертежам)

1. Найдите на чертежах прямоугольные треугольники. Обоснуйте, почему они прямоугольные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

НазоНазовите в прямоугольных треугольниках катеты и гипотенузу. Обоснуйте, почему вы так считаете.

2. Какие свойства прямоугольных треугольников вы знаете?
3. Обоснуйте приведите примеры, пользуясь подходящими чертежами (свойство суммы острых углов, свойство гипотенузы как стороны длиной большей длин катетов, свойство неравенства треугольника, прямая и обратная теоремы Пифагора, свойство прямоугольного треугольника с углом 300, свойство прямоугольного треугольника с углом 450)
4. Назовите острые углы в выбранных прямоугольных треугольниках;
5. Выберите один острый угол;
6. Назовите катет, противолежащий выбранному углу и катет,  прилежащий выбранному углу;
7. Выберите второй острый угол; назовите противолежащий ему катет; назовите прилежащий катет;
8. По последнему чертежу составьте отношение катетов. Что нужно уточнить в задаче?(порядок катетов).
9. Составьте отношение катета, противолежащего углу Р к прилежащему катету.

Чему равно это отношение?

10. Составьте отношение катета, противолежащего углу V к прилежащему катету.

Чему равно это отношение?

11. Составьте отношение катета, прилежащего углу Р к противолежащему катету.

Чему равно это отношение?

12. Составьте отношение катета, прилежащего углу V к противолежащему катету.

Чему равно это отношение?

13. Найдите отношение одного из катетов к гипотенузе. Что нужно уточнить в задаче?(какого из катетов)
14. Найдите отношение катета, прилежащего углу Р к гипотенузе. Чему равно это отношение?
15. Найдите отношение катета, противолежащего углу Р к гипотенузе. Чему равно это отношение?
16. Найдите отношение катета, прилежащего углу V  к гипотенузе. Чему равно это отношение?
17. Найдите отношение катета, противолежащего углу V  к гипотенузе. Чему равно это отношение?
18. С самолета радируют на ледокол, что он находится над разыскиваемым объектом на высоте 1 км.  С ледокола определяют угол повышения α=300  (углом повышения называется угол между лучом зрения, идущим к фиксированной точке, и горизонталью).  Найдите расстояние от ледокола до разыскиваемого объекта.

Решение:

 

18. Знание какого факта нам помогло решить задачу?
19. Сформулируйте это свойство, используя слово «отношение».

Сегодня на уроке мы будем находить всевозможные отношения сторон прямоугольного треугольника.

II этап – мотивационный

Цель: вызвать интерес к новым понятиям.

Учебные действия, необходимые на этом этапе: универсальные учебные действия: распознавание, выведение следствий, формулирование гипотез для решения поставленной проблемы; специальные математические действия – вычисления.

Ведущее действие - применение знаний

Метод – проблемная беседа

Вид обратной связи – интуитивно-визуальная

Форма организации работы – фронтальная

Вид познавательной деятельности – репродуктивный с выходом на частично-поисковый

Деятельность учителя – озвучивает задание, создающее ситуацию затруднения

Деятельность учащихся: пытаются решить задачу

1. В жизни часто приходится решать практические задачи, когда невозможно измерить угол или сторону прямоугольного треугольника так как они находятся в недоступном месте.
2. Например: Задача нахождения высоты предмета, которая недоступна, высота является катетом прямоугольного треугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

Предлагается две задачи. НАЙДИТЕ В НИХ СХОДСТВО. Можно ли считать эти задачи аналогичными?

1. В треугольнике АВС ,  ,

АВ = 5см. Найдите длины катетов АС и ВС.

2. В треугольнике АВС ,  АВ=5см,  . Найдите длины катетов АС и ВС.
3. Уточните границы  градусной меры для угла А ( ).
4. Допустим, известно отношение , тогда как бы решалась задача? (АВ=3АС)
5. Допустим, известно отношение , тогда как бы решалась задача? (АВ=3/2АС)
6. Допустим, известно отношение , тогда как бы решалась задача? (АВ=5/3АС)

    Учащихся должны прийти к заключению, что неплохо было бы знать отношение катета и гипотенузы для угла конкретной градусной меры.

Учитель сообщает, что всевозможные отношения для любого угла уже давно известны, рассчитаны с большой точностью, и этих отношений между сторонами всего изначально было шесть: отношение противолежащего катета к гипотенузе, обратное отношение, отношение прилежащего катета к гипотенузе и обратное отношение, отношение катета, противолежащего углу и обратное отношение. Для всех видов отношений придуманы названия, и знания выделены в отдельную область математики – в науку тригонометрию.

 

III этап – ориентировочный

Цель:  введение определений синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника и формирование умения нахождения их значений (с помощью ориентировочной основы действия).

Учебные действия, необходимые для усвоения определений понятий: ведущая деятельность - специальные математические действия - составление отношений и вычисление их значений, другие действия - распознавание, построение, работа по алгоритму.

Метод – объяснительно-иллюстративный

Вид обратной связи – интуитивно-визуальная

Форма организации работы – фронтальная

Вид познавательной деятельности – репродуктивный с выходом на частично-поисковый

1. Введение терминов и определений

Введение определений (определения – конструктивные, способ введения – абстрактно-дедуктивный)

Определения предъявляются в печатном виде, либо на экране.

Задание  для обучающихся –  разобраться в конструкции определений, найти сходства и отличия.

Деятельность учащихся: изучают определения.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.                 

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.                 

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.                

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.      

 

2. Выделение существенных признаков

Деятельность учителя: организует усвоение определений через систему вопросов, предъявляемых фронтально.

Деятельность учащихся: отвечают на вопросы:

1. Какие объекты используются в определениях? (прямоугольный треугольник; острый угол прямоугольного треугольника; катет, противолежащий острому углу; катет, прилежащий к острому углу; гипотенуза; отношение);
2. Что общего в определениях и в чем различие? (общее - прямоугольный треугольник, острый угол, отношения сторон прямоугольного треугольника, различия – в наборе относимых сторон);
3. Рассмотрим определения синуса и косинуса угла. Что общего в определениях синуса и косинуса и в чем отличаются определения? (общее - гипотенуза, отличие – в используемых катетах, уточнить);
4. Рассмотрим определения тангенса и котангенса угла. Что общего в определениях тангенса и котангенса и в чем отличаются определения? (общее - не используется гипотенуза, а только катеты, отличие – в порядке используемых катетов, уточнить);
5. Назовите существенные признаки (острый угол, прямоугольного треугольника, отношение сторон, взятых в строгой последовательности).
6. Работа со структурой определений понятий, Приведение примеров и контрпримеров
7. Посмотрите на чертежи (чертежи предъявляются на экране). Проверьте - верно ли составлены отношения для определения синусов, косинусов и тангенсов острых углов. Обоснуйте.

 

 

 

 

 

   

 

 

 

         

 

 

2. Вернемся к треугольнику АВС на ваших карточках. Верно ли составлены отношения для острого угла В?

 

3. Запишите, используя определения, четыре отношения (синус, косинус, тангенс и котангенс) для второго острого угла  -  .

Деятельность учащихся: записывают отношения, используя определения, сверяют с ответом, дают оценку.

Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ:

 

Деятельность учащихся: выполняют самопроверку.

Физминутка для глаз.

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде почасовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и…

4. Вычисление значений четырех отношений

для острых углов данного треугольника (формирование ведущего действия)

Цель этапа: формирование умения решения задачи вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника с помощью образца (карточек-опор);

Учебные действия на данном этапе: ведущая деятельность – составление отношений, вычисление (специальные математические действия), умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные – контроль, самоконтроль, коммуникативные умения.

Учащимся предъявляется задача с решением-образцом (материальная основа).

Деятельность учителя – предъявляет задание:  вычислить синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов данных прямоугольных треугольников

Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия: в составе и порядке исполнительных операций,  решают предложенную им задачу по образцу, записывают решение, используя карточки-приложения

 

Приложение

Материальная основа (раздается каждому ребенку в печатном виде).

Алгоритм нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса

острого угла прямоугольного треугольника

 

 

 

 

Угол С -  прямой (по условию, так как он отмечен на чертеже значком прямого угла), следовательно, данный треугольник  - прямоугольный;            1.            Убеждаемся, что данный треугольник - прямоугольный

 

2. Дан прямоугольный треугольник, выбираем острый угол;

Например, 

 

1)            катет, противолежащий   – АС

2)            катет, прилежащий   –  ВС

3)            гипотенуза – напротив прямого   - АВ

Определяем:

1)            катет, противолежащий углу В;

2)            катет, прилежащий углу В;       3)  гипотенузу.

 

3. Находим (вычисляем) отношение противолежащего катета к гипотенузе. Это значение и будет синусом острого угла.

 

4. Находим (вычисляем) отношение прилежащего катета к гипотенузе. Это значение и будет косинусом острого угла.

 

5. Находим (вычисляем) отношение противолежащего катета к прилежащему. Это значение и будет тангенсом острого угла.

 

6. Находим (вычисляем) отношение прилежащего катета к противолежащему. Это значение и будет котангенсом острого угла.

 

Двое учащихся работают у доски, каждый шаг решения обосновывается (этап громкой речи).

 

 

 

 

 

 

 

ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Деятельность учащихся: решают задачи с использованием материальной основы действия образца непосредственного применения определений для вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов прямоугольного треугольника.

Деятельность учителя: предъявляет задачу для самостоятельного решения (на экране):

Задача:  В    , ST = 8, TQ = 6, SQ=10 см.

I вариант: Найти синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла S.

II вариант: Найти синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла Q.

Деятельность учителя: организует работу учащихся в парах, объясняет правила работы в парах.

Деятельность учащихся: учащиеся, выполнившие задание, рассказывают вслух решение друг другу.

Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (на экране):

I вариант: 

II вариант: 

 

Деятельность учащихся: выполняют самопроверку.

5. Выведение следствий из факта принадлежности объекта объёму понятий

Вопросы:

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен 1/4. Объясните, что это значит.
2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен 0,6. Что отсюда следует? Обоснуйте.
3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 2/3. Как вы это понимаете? Что отсюда следует?
4. Найдите противоречие: косинус острого угла прямоугольного треугольника равен 1.

Итог урока

Какие новые понятия вы сегодня осваивали?

Что показалось самым трудным?

Какой этап урока был самым интересным для вас?

На уроке:

вы рассматривали …

вы анализировали …

вы получили …

вы сделали вывод …

вы пополнили словарный запас следующими терминами …

Веселая считалка

С тригонометрией сейчас знакомы даже звери.

Правила все говорят четко и уверенно.

И попросим мы зверят -  рассказать их для ребят.

Как мы косинус считаем, ты спроси медузу

— Делим прилежащий катет на гипотенузу.

Синус вычислить сумеет зверь любой из чащи:

—  На гипотенузу делит катет противолежащий.

Чтобы тангенс получить, нужно катеты делить.

Вы в числителе берете тот, что для угла напротив.

Тот, который прилежит, в знаменателе пиши.

Домашняя работа.

 

1. В треугольнике АВС ,  АВ=25см,  ВС = 7см. Найти  , , , .

 

Найти  , , , .

 

 

2. Учить определения, изучить параграф учебника, устно ответить на вопросы к параграфу.

По желанию  «История развития тригонометрии» - презентация